學測高頻考點 & 邏輯轉化焦點
排列組合的核心在於「分類」與「分步」。很多同學遇到題目不知道該用 P 還是 C，或者被重複排列的底數與指數搞混。記住：「P 關注順序，C 只選不排，重複排列則適用於每個位置都有相同數量的相異選擇」。掌握好本章的「不相鄰插空格」、「重複排列的指派選擇」以及「棋盤捷徑加法原理」，學測排列組合分數就能穩穩拿滿！
💡 第一單元：兩大計數原理與階乘
計數問題的根本在於將複雜的事情簡化。我們首先必須清楚判定何時該用「加」，何時該用「乘」。
1. 加法原理（分類）
若完成某件事有 k 類方法，且這 k 類方法互斥（彼此獨立、不重疊，做完任一種方法事情即告完成），則總方法數為各類方法數相加：
（例如：從台北到高雄可以搭乘高鐵 3 班或台鐵 5 班，共 3 + 5 = 8 種方式）
2. 乘法原理（分步）
若完成某件事必須經過 k 個步驟，且各個步驟連續進行（必須完成所有步驟事情才算完成），則總方法數為各步方法數相乘：
（例如：穿衣服要選上衣 4 件再選褲子 3 件，共 4 × 3 = 12 種穿法）
階乘的定義與本質
將 n 個相異物做直線排列，其方法數為自 n 開始遞減連乘至 1，我們記作 n! (讀作 n 階乘)：
特別規定：0! = 1
📊 第二單元：直線排列 P、組合 C 與重複排列 nr
高中代數三大核心計數符號，其定義、公式及適用場景如下表：
| 符號 | 名稱 | 代數公式 | 核心思維 | 常見應用場景 |
|---|---|---|---|---|
| Pnr | 直線排列 | $$\frac{n!}{(n-r)!}$$ | 從 n 個相異物選 r 個出來「需要排順序」。 | 男女排成一列、相異字卡排成密碼 |
| Cnr | 組合 | $$\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ | 從 n 個相異物選 r 個出來「不需要排順序」。 | 抽籤出 5 個人掃地、不共線三點決定三角形 |
| nr | 重複排列 | $$n^r$$ | 從 n 種相異物中，「可重複選取」共 r 個排出順序（或是 r 個相異物投遞到 n 個相異位置）。 | 相異信件投郵筒、密碼鎖設位、相異獎品分給學生（可兼得） |
🧪 第三單元：排列組合的四大經典解題模型
1. 「相鄰」模型：綑綁法
題目要求特定元素必須相鄰時，將這些相鄰元素視為一個整體（綑綁在一起）與其他人進行排列，最後千萬別忘記綑綁物體內部的自排方法數（乘法原理）。
2. 「不相鄰」模型：插空格法
題目要求特定元素彼此不得相鄰時，應先將其餘沒有限制的元素排好，再讓不相鄰的元素插入產生的空格中。
3. 「重複排列」模型：相異投遞法（指派問題）
將 r 個不同的物品分配給 n 個不同的對象，且每個對象可兼得。因為每個物品都有 n 種選擇，依乘法原理共有 n × n × ⋯ × n = nr 種方法（注意底數為「提供選擇的被動方」，指數為「主動選擇的物品」）。
4. 「同物排列」模型：捷徑問題
在 x × y 的方格路網中，由左下角走到右上角的捷徑。其本質就是將 x 個向右鍵 → 與 y 個向上鍵 ↑ 進行同物不分順序的排列，方法數為 Cx+yx。