1. 等差與等比數列級數
- • 等差一般項：an = a1 + (n−1)d
- • 等差級數和：$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[\,2a_1 + (n-1)d\,]}{2}$$
- • 等比一般項：an = a1 · rn−1
- • 等比級數和：$$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$
2. Σ (Sigma) 求和基本功
三大連續整數冪次求和公式：
• 連續正整數和：$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$
• 連續平方和：$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• 連續立方和：$$\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$
🚀 薇閣資優：階差數列
若相鄰項的差 bk = ak+1 − ak 有規律，則一般項為：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)$$
🔄 遞迴關係：化為一般項
將給定的前後項規律轉化為「一般項 an」的關鍵方法：
① 累加型 an = an−1 + f(n) ⟹ 採「累加法」消去；累乘型 an = f(n)·an−1 ⟹ 採「累乘法」消去。
② 一階線性 an = p·an−1 + q：用特徵方程 α = p·α + q 解不動點 α = q ÷ (1 − p)，平移成等比：
an − α = p(an−1 − α) ⟹ an = (a1 − α)pn−1 + α
⚠️ 圖像化觀察指南
在「互動工具」分頁的模擬器中，調整公比或遞迴係數 p：當 |p| < 1 時，數列逐漸平穩「收斂」；當 |p| > 1 時，呈現爆炸性「發散」或劇烈「震盪」。
📐 數學歸納法
如同推倒無限張骨牌的嚴格科學方法：
- 奠基 (n = 1)： 證明 n = 1 時命題 P(1) 成立。
- 歸納假設 (n = k)： 假設 n = k 時 P(k) 成立。
- 遞推 (n = k+1)： 利用假設推導出 P(k+1) 亦成立。
❌ 易錯點：
證明 n = k+1 時，絕對不可直接套用尚未證實的 P(k+1) 結論，必須明確指出哪一步用了 n = k 的歸納假設！
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