私中考題 & 段考核心痛點
本章是國一上學期段考的分水嶺！「1 既不是質數也不是合數」、「2 是唯一的偶數質數」等觀念是是非題殺手；利用標準分解式快速求出「正因數個數與正因數總和」、處理「同餘、不足與剩餘問題」，以及正負分數運算下的「拆項對消」、「負分數指數陷阱」，全是薇閣資優專班必須融會貫通的常客！
💡 第一單元：因數、倍數、質數與標準分解式
在整數的世界中，若 a ÷ b 的餘數為 0（其中 a、b 皆為整數且 b ≠ 0），稱 b 是 a 的 因數，a 是 b 的 倍數。在中學階段，討論因數倍數時通常限定在正整數範圍。
1. 質數與合數的黃金判定
- 質數（Prime）：大於 1 的正整數中，除了 1 和它本身以外，沒有其他因數。例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
- 合數（Composite）：大於 1 的正整數中，除了 1 和它本身之外，還有其他因數。
- 數字 1：既不是質數，也不是合數。
- 數字 2：是唯一一個身為偶數的質數，也是最小的質數。
- 互質（Coprime）：若兩個正整數 a、b 的最大公因數為 1（即 (a, b) = 1），稱兩數互質。互質兩數本身不一定都是質數（例：8 和 9 互質，但兩者都是合數）。
2. 標準分解式與正因數個數
將一個合數寫成相異質因數由小到大排列、相同質因數寫成指數形式的乘積，稱為該數的標準分解式。
🎯 正因數個數公式
若 $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$，則正因數個數 = $(a+1)(b+1)(c+1)$。
📌 原理：每個質因數可選次方 0、1、…、最高次（共「最高次 + 1」種），依乘法原理相乘。
📊 第二單元：最大公因數 (GCF) 與最小公倍數 (LCM)
利用標準分解式找最大公因數與最小公倍數，是國中數論最快、最不易出錯的方法。面對多位數、未知數或代數題型時，這套方法最具威力。
👑 最大公因數 (a, b) 規則
• 底數：挑選所有人「都有出現（公有）」的質因數。
• 指數：選擇「次方最小」者（取下界）。
（常用於分配問題、剪正方形、分裝水果等「平分、最大化」題型）
🚀 最小公倍數 [a, b] 規則
• 底數：挑選「只要有出現過」的所有相異質因數。
• 指數：選擇「次方最大」者（取上界）。
（常用於齒輪轉動、週期重逢、同餘 / 不足分配、幾何拼湊正方體等題型）
🧪 第三單元：正負分數四則運算與去括號
分數加減法與小學算術最大的差別在於加入了性質符號（正負號）與括號的化簡。去括號時必須嚴格遵守正負號分配律。
分數加減：通分
不同分母相加減時，先求分母的最小公倍數作為共通分母，將分子依比例放大後再合算，最後務必化為最簡分數。
分數乘除：倒數
乘法：分子乘分子、分母乘分母（先交叉約分再乘較佳）。除法：除以一個分數，等於乘以該分數的「倒數」（分子分母顛倒，倒數不改變正負號）。
去括號黃金法則
• $a + (b - c) = a + b - c$
• $a - (b + c) = a - b - c$
• $a - (b - c) = a - b + c$
⚠️ 陷阱警示：負分數的指數運算
底數為負分數時，偶次方為正、奇次方為負；最關鍵的是「負號在不在括號內」會徹底改變結果：
$\left( -\dfrac{1}{2} \right)^4 = \dfrac{1}{16}$
負號在括號內、偶數次方 → 正（負負得正）
$-\left( \dfrac{1}{2} \right)^4 = -\dfrac{1}{16}$
負號在括號外、不受指數影響 → 負
🎯 第二章 分數與因數分解 突破挑戰題
本題庫共 18 題，每題不重複出現，全部答完後可重新洗牌再戰一輪。
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