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高中數學 三角函數公式精講

掌握和差角、倍角、半角公式系統，配合動態單位圓建立幾何直覺

學測指考、薇閣段考制霸系列講義

學測指考重點提醒

三角函數是學測指考的常駐主題！本章公式必須能雙向推導：和差角公式 ⇄ 積化和差／和差化積；倍角公式 ⇄ 半角公式；切勿死背，建議搭配「動態單位圓」分頁建立幾何直覺後再做題！

📍 第一單元：廣義角三角函數定義

將標準位置角 θ（始邊為正 x 軸）的終邊上任取一點 P(x, y)（P 不為原點），令 $r = \overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，則廣義角三角函數定義如下：

正弦 sin

$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$

縱座標 y 除以 r。比值與所取的 P 點無關（相似三角形對應邊成比例）。值域 [−1, 1]。

餘弦 cos

$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$

橫座標 x 除以 r。同樣與所取的 P 點無關。值域 [−1, 1]。

正切 tan

$\tan\theta = \dfrac{y}{x}$

縱座標除以橫座標，r 在此會約去。當 x = 0（即 θ = 90° + 180°k）時無定義。

💡 單位圓特例：當特別取終邊與單位圓（x² + y² = 1）的交點為 P(x, y) 時，r = 1，所以 sin θ = y、cos θ = x。單位圓只是 r = 1 的特例，並非定義本身；本章後續的動態單位圓分頁正是利用此特例做幾何視覺化。

倒數三角函數（餘割、正割、餘切）

函數 定義 幾何意義
$\csc\theta$ (餘割) $\dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{r}{y}$ sin 倒數，y = 0 時無意義
$\sec\theta$ (正割) $\dfrac{1}{\cos\theta} = \dfrac{r}{x}$ cos 倒數，x = 0 時無意義
$\cot\theta$ (餘切) $\dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{x}{y}$ tan 倒數，y = 0 時無意義

第一象限特殊角速查表

$\theta$ $0^\circ$ $15^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $75^\circ$ $90^\circ$
$\sin\theta$ $0$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ $1$
$\cos\theta$ $1$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $0$
$\tan\theta$ $0$ $2-\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $2+\sqrt{3}$ 無意義
🎯 15° 與 75° 怎麼推：15° = 45° − 30°、75° = 45° + 30°，用和差角公式展開即可。sin 15° 與 cos 75° 同值、sin 75° 與 cos 15° 同值（互餘關係）。

象限交界角（軸上角）速查

$\theta$ $0^\circ$ $90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
$\sin\theta$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $0$
$\cos\theta$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $1$
$\tan\theta$ $0$ 無意義 $0$ 無意義 $0$
⚠️ 陷阱警示：軸上角的象限歸屬不確定（例如 90° 不在第一也不在第二象限），不可套用 ASTC 口訣。建議直接以單位圓上對應點 (x, y) 的值記憶。

🔗 第二單元：基本恆等式（畢氏恆等式）

由廣義定義 sin θ = y/r、cos θ = x/r，將兩式平方相加，分子 x² + y² = r²，分母 r²，故和恆為 1，即得三角函數最核心的恆等關係：

主公式

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

由 $x^2+y^2 = r^2$ 直接推出。

同除 $\cos^2\theta$

$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$$

適用範圍：$\cos\theta \ne 0$。

同除 $\sin^2\theta$

$$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$

適用範圍：$\sin\theta \ne 0$。

📌 觀念釐清： 「畢氏恆等式」的命名來自畢氏定理 x² + y² = r²。在終邊上的點 P(x, y) 配上 r = OP，正是一個直角三角形的兩股與斜邊，自然滿足 sin²θ + cos²θ = 1。不需死背，從定義就能隨時還原。

商數關係

$$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

➕ 第三單元：和差角公式（最關鍵的記憶骨架）

和差角公式是幾乎所有三角恆等式的母公式，倍角、半角、積化和差皆由此推導而來。記憶口訣：「正弦同號、餘弦反號、正切互倒」。

正弦和角

$$\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$$

記憶：「S$_+$ = SC + CS」

正弦差角

$$\sin(A-B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$$

記憶：「S$_-$ = SC − CS」（同號）

餘弦和角

$$\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$$

記憶：「C$_+$ = CC − SS」（反號！）

餘弦差角

$$\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$$

記憶：「C$_-$ = CC + SS」（反號！）

正切和角

$$\tan(A+B) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B}$$

分母為 $1$ 減乘積，與分子同號相反。

正切差角

$$\tan(A-B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B}$$

分子分母正負號相反。

⚡ 解題心法： 看到 sin 15°、cos 75°、tan 105° 等非特殊角，立刻拆解成兩個特殊角的和或差。
例如：sin 15° = sin(45° − 30°)；cos 75° = cos(45° + 30°)。

✖️ 第四單元：倍角、半角與三倍角公式

倍角公式由 和角公式「令 A = B」直接推出；半角公式則是倍角公式「反向解 sin² 或 cos²」後再開根號。

倍角公式（$2\theta$）

正弦倍角

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

餘弦倍角（三變形）

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

$= 1 - 2\sin^2\theta$

$= 2\cos^2\theta - 1$

正切倍角

$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$

降冪公式

將 sin² 或 cos² 化為一次式，是處理三角不等式、三角積分的關鍵：

sin² 降冪

$$\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

cos² 降冪

$$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

🎯 記憶訣竅： sin² 的降冪「頭尾相減」（1 − cos 2θ），cos² 的降冪「頭尾相加」（1 + cos 2θ）。分母都是 2。

半角公式

從降冪公式中將 θ 換成 θ/2，再開平方根，即可得 sin、cos、tan 的半角表達式：

正弦半角

$$\sin\dfrac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}$$

餘弦半角

$$\cos\dfrac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}$$

正切半角

$$\tan\dfrac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$$

正切半角的無 ± 等價形式（最常考用）

$$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$$

這兩個形式都不必判正負號，自動由分子分母的符號決定，比平方根式好用許多。

⚠️ 正負號怎麼判斷？ 看 θ/2 落在哪一個象限： • 第一象限：三個函數皆 + • 第二象限：sin(θ/2) > 0、cos(θ/2) < 0、tan(θ/2) < 0 • 第三象限：sin(θ/2) < 0、cos(θ/2) < 0、tan(θ/2) > 0 • 第四象限：sin(θ/2) < 0、cos(θ/2) > 0、tan(θ/2) < 0

三倍角公式

利用 3θ = 2θ + θ，套和角公式並代入倍角，即可推出全用 sin θ（或 cos θ）表示的形式：

正弦三倍角

$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$

口訣：「三正減四正立方」

餘弦三倍角

$$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

口訣：「四餘立方減三餘」

正切三倍角

$$\tan 3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$$

分子分母都帶 $3$ 與立方。

⚡ 解題心法：三倍角公式的最大用處是把 sin 3θ（或 cos 3θ）轉成 sin θ 的單變數方程式，常用於三次方程的根與三角方程的解。例如解 sin 3θ = 1/2 可直接展開推導。

🧭 第五單元：誘導公式（任意角 → 第一象限銳角）

把任何角度透過「對稱反射」與「週期平移」化簡到第一象限銳角，是計算 sin 210°、cos 330°、tan(−45°) 等問題的關鍵技巧。所有誘導公式都可用一句口訣記憶：

最強口訣

奇變偶不變，符號看象限

「奇／偶」指的是把 π/2（即 90°）的幾倍當作 k：
k 為奇數（90°、270°）：函數名要變（sin ↔ cos、tan ↔ cot）
k 為偶數（0°、180°、360°）：函數名不變
「符號」則看原式所在的象限（把 θ 暫時當作銳角去判斷）。

常用六組誘導公式

變換 $\sin$ $\cos$ $\tan$ 說明
$-\theta$ $-\sin\theta$ $\cos\theta$ $-\tan\theta$ 負角；$\cos$ 是偶函數
$90^\circ - \theta$ $\cos\theta$ $\sin\theta$ $\cot\theta$ 互餘；函數名變
$90^\circ + \theta$ $\cos\theta$ $-\sin\theta$ $-\cot\theta$ 第二象限；函數名變
$180^\circ - \theta$ $\sin\theta$ $-\cos\theta$ $-\tan\theta$ 互補；函數名不變
$180^\circ + \theta$ $-\sin\theta$ $-\cos\theta$ $\tan\theta$ 第三象限；函數名不變
360° − θ（同 −θ） $-\sin\theta$ $\cos\theta$ $-\tan\theta$ 第四象限；週期回到原點
💡 幾何洞見：所有誘導公式都來自單位圓上點 P 的對稱反射： • −θ、360° − θ：對 x 軸對稱（y 變號） • 180° − θ：對 y 軸對稱（x 變號） • 180° + θ：對原點對稱（兩者皆變號） • 90° ± θ：對直線 y = x 對稱（x、y 對調，再依象限決定符號）
⚡ 實戰範例：求 sin 210°。因 210° = 180° + 30°（第三象限，sin < 0），套表得 sin 210° = −sin 30° = $-\dfrac{1}{2}$。

週期性公式

$$\sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta$$

sin 週期為 2π

$$\cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta$$

cos 週期為 2π

$$\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta$$

tan 週期為 π（比 sin、cos 短一半）

🎵 第六單元：sin 與 cos 疊合公式（學測指考最常考！）

把 $a\sin\theta + b\cos\theta$ 這種「兩個三角函數加總」的式子，合併成單一個三角函數，是求三角函數最大／最小值的萬能武器。直接由和差角公式倒推：

主公式（sin 形式）

$$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \varphi)$$

其中振幅 R = √(a² + b²)，相位 φ 滿足 cos φ = a/R、sin φ = b/R（即 tan φ = b/a）。

等價的 cos 形式

$$a\sin\theta + b\cos\theta = R\cos(\theta - \psi)$$

同樣 R = √(a² + b²)，但 cos ψ = b/R、sin ψ = a/R（即 tan ψ = a/b）。選 sin 或 cos 形式看題目方便。

📐 推導（看一次就懂）

提出公因式 R = √(a² + b²)：

$$a\sin\theta + b\cos\theta = R\left(\dfrac{a}{R}\sin\theta + \dfrac{b}{R}\cos\theta\right)$$

因 (a/R)² + (b/R)² = 1，可設 cos φ = a/R、sin φ = b/R，代入得：

$$= R(\cos\varphi\sin\theta + \sin\varphi\cos\theta) = R\sin(\theta + \varphi)$$

最後一步用的就是 sin(θ + φ) 的和角公式。

⚡ 最強應用：求最值！因為 sin(θ + φ) 的值域為 [−1, 1]，所以：

$$\text{最大值} = R = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \text{最小值} = -R = -\sqrt{a^2+b^2}$$

不必再做微分、不必找頂點，會用疊合就秒殺所有三角函數最值題！可到「🎵 疊合互動實驗室」分頁親手拖動 a、b 觀察。
🎯 範例：求 sin θ + √3 cos θ 的最大值？
$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$，tan φ = √3/1 = √3，所以 φ = 60°。
函數可寫為 $2\sin(\theta + 60^\circ)$，最大值為 2（當 θ = 30° 時取得）。

🔄 第七單元：積化和差 ⇄ 和差化積

📚 108 課綱已移除（補充參考）
⚠️ 學習提醒：此單元在 108 課綱已刪除，學測指考不會直接出題。但本內容仍是高中數學常見資優補充、銜接高中數學乙、競賽與大學微積分傅立葉分析的橋樑，建議行有餘力者掌握。

將「兩個三角函數的乘積」轉成「兩個三角函數的和差」（或反之），直接由和差角公式相加減導出。

積化和差 ①

$$\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr]$$

積化和差 ②

$$\cos A\sin B = \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B)-\sin(A-B)\bigr]$$

積化和差 ③

$$\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr]$$

積化和差 ④

$$\sin A\sin B = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr]$$

和差化積（解三角方程式神器）

$$\sin A + \sin B = 2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$$

$$\sin A - \sin B = 2\cos\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2}$$

$$\cos A + \cos B = 2\cos\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$$

$$\cos A - \cos B = -2\sin\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2}$$

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